Математический анализ

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

8

Кредиты

Кто читает:

Кафедра высшей математики (Общеуниверситетские кафедры)

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1-4 модуль

Преподаватель

Латышев Александр Михайлович

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении школьного курса математики. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: 1. Дифференциальные уравнения; 2. Теория вероятностей; 3. Профильных химических дисциплин.

Цель освоения дисциплины

• формирование у студентов базовых знаний о методах математического анализа
• предоставление студентам аналитической базы для изучения последующих математических и специализированных курсов
• развитие логического мышления и умения оперировать абстрактными объектами, привитие навыков корректного употребления математических понятий и символов для выражения различных количественных и качественных отношений
• развитие навыка строгих математических рассуждений и доказательств
• знакомство студентов с программным обеспечением, позволяющим решать задачи математического анализа
• формирование у студентов навыков применения методов математического анализа в исследовательской деятельности

Планируемые результаты обучения

• обучающийся должен ВЛАДЕТЬ навыками: методами вычисления площадей поверхностей в пространстве, поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода, потока через замкнутую поверхность, а также циркуляции векторного поля вдоль замкнутого контура, использования теорем Гаусса-Остроградского, Стокса, формулы Грина.
• обучающийся должен УМЕТЬ: -вычислять дифференциальные операторы (rot,div, grad) скалярных и векторных полей, вычислять площадь поверхности в пространстве, вычислять поверхностные интегралы 1-2 рода, использовать связь между поверхностными интегралами 1, 2-го рода для вычисления потока через замкнутую поверхность. Применять полученные знания в физических задачах, в частности уметь переходить от дифференциальной формулировки уравнений электродинамики, к интегральной.
• обучающийся должен ВЛАДЕТЬ навыками: методами разложения функций в ряды Фурье; методами оценки сходимости ряда Ряда Фурье.
• обучающийся должен УМЕТЬ: применять преобразование Фурье в задачах математического моделирования и математической физики.
• обучающийся должен ВЛАДЕТЬ навыками: работы с комплексными числами, изображения комплексных чисел на комплексной плоскости, сложение, умножение, вычисление корней (формула Муавра), тригонометрическая запись комплексного числа (формула Эйлера), дифференцирования функций комплексного переменного, разложения функций комплексного переменного в ряд Лорана, вычисления сходимости ряда Лорана, вычисления интегралов с помощью вычетов.
• обучающийся должен УМЕТЬ: применять методы комплексного интегрирования и дифференцирования в прикладных задачах.
• обучающийся должен ВЛАДЕТЬ навыками: профессиональным языком предметной области знания; основными методами решения дифференциальных уравнений; способами построения и решения математических моделей явлений различной природы при помощи дифференциальных уравнений.
• обучающийся должен УМЕТЬ: интегрировать дифференциальные уравнения 1-го порядка: a) с разделяющимися переменными, б)однородные и сводимые к ним, в)линейные и сводимые к ним, г)в полных дифференциалах, интегрировать линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные), и системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные).
• обучающийся должен УМЕТЬ: классифицировать линейные уравнения в частных производных, использовать стандартные методы решения уравнений гиперболического, параболического и элиптического типов.

Содержание учебной дисциплины

• Основы векторного анализа
  1.Криволинейные и поверхностные интегралы Понятия кривой, длины кривой. Криволинейные интегралы I и II рода, их свойства. Формула Грина. Понятие потенциального векторного поля. Необходимые и достаточные условия потенциальности. Понятия поверхности, площади поверхности. Сапог Шварца. Поверхностные интегралы I рода, их свойства. Ориентация поверхности. Поверхностные интегралы II рода по гладким и кусочно-гладким поверхностям, их свойства. 2.Элементы векторного анализа. Понятие скалярного и векторного полей. Дифференциальные операторы 1-го порядка (градиент, ротор, дивергенция). Формула Гаусса-Остроградского. Формула Стокса. Определения ротора и дивергенции, не использующие координат.
• Ряды Фурье, преобразование Фурье
  1.Степенные ряды и ряды Фурье. Пространства со скалярным произведением. Ортогональные системы. Коэффициенты Фурье и их свойства: экстремальное свойство, тождество Бесселя, тождество Парсеваля. Замкнутые ортогональные системы. Тригонометрическая система. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Явный вид частичных сумм. Признаки Дини, Липшица сходимости ряда Фурье. Принцип локализации. Достаточное условие равномерной сходимости рядов Фурье. Эффект Гиббса. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических. Теорема Вейерштрасса о замкнутости тригонометрической системы. Интегральное преобразование Фурье как предельный случай разложения в ряд Фурье по тригонометрической системе. 2.Преобразование Фурье. Интегральное преобразование Фурье как предельный случай разложения в ряд Фурье по тригонометрической системе.
• Введение в комплексный анализ
  1.Понятие и сущность комплексного числа. Формы представления, модуль, аргумент, сопряженные комплексные числа. 2. Аналитические функции от комплексного числа (тригонометрические, логарифмическая и показательная функции). Комплекснозначные функции действительного переменного. Непрерывные функции комплексного переменного. Регулярные функции. Условие Коши-Римана. Сопряженные и гармонические функции. 3. Конформные отображения. Определение и свойства конформного отображения. Простейшие примеры конформных отображений. 4. Интегральная теорема Коши и ее следствия. Интегральная формула Коши. Степенные ряды. Свойства регулярных функций. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Разложение регулярной функции в ряд Лорана.Изолированные особые точки однозначного характера. 5.Теория вычетов и ее приложения. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
• Дифференциальные уравнения.
  1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка: Основные понятия и определения, относящиеся к дифференциальным уравнениям первого порядка. Решение дифференциального уравнения. Интегральная кривая. Задача Коши. Теорема Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения. Уравнения с разделяющими переменными. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения Клеро и Лагранжа. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Решение однородных уравнений и приводящихся к ним. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли. Решение уравнений в полных дифференциалах. Решение уравнений, не разрешенных относительно производных (уравнения Клеро и Лагранжа) 2. Дифференциальные уравнения высших порядков: Основные понятия и определения, относящиеся к дифференциальным уравнениям высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общие свойства решений. Понятие линейной зависимости и независимости системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Понятие о краевых задачах. Задача Штурма - Лиувилля. 3. Системы дифференциальных уравнений: Нормальные системы дифференциальных уравнений. Решение нормальных систем дифференциальных уравнений методом исключения. Системы линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Простые корни характеристического полинома. Кратные корни характеристического полинома. 4. Дифференциальные уравнения в частных производных: Основные понятия и определения, относящиеся к дифференциальным уравнениям в частных производных. Постановка задач для основных уравнений математической физики. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера. Метод Фурье для колебания струны. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье. Решение задачи Дирихле для круга. Формула Пуассона. 5. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений: Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов. Применение компьютера для интегрирования дифференциальных уравнений.

Элементы контроля

• Домашние задания
• Самостоятельные работы (квизы)
• Контрольная работа
• Экзамен 2 модуль
  При проведении экзамена в дистанционном формате необходимо руководствоваться следующими правила проведения экзамена: https://docs.google.com/document/d/1zftbGvQMKqJlDTpceFixXq7FvhUAGjkm1dPOq3LjGTA/edit?usp=sharing
• Экзамен 4 модуль
  При проведении экзамена в дистанционном формате необходимо руководствоваться следующими правила проведения экзамена: https://docs.google.com/document/d/1zftbGvQMKqJlDTpceFixXq7FvhUAGjkm1dPOq3LjGTA/edit?usp=sharing

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.16 * Домашние задания + 0.3 * Контрольная работа + 0.24 * Самостоятельные работы + 0.3 * Экзамен 4 модуль
• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.15 * Домашние задания + 0.3 * Контрольная работа + 0.25 * Самостоятельные работы + 0.3 * Экзамен 4 модуль

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Гурова З.И., Каролинская С.Н., Осипова А.П. - Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами - Издательство "Физматлит" - 2006 - 352с. - ISBN: 5-9221-0328-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2172

Рекомендуемая дополнительная литература

• Будаев В. Д., Якубсон М.Я. - Математический анализ. Функции одной переменной - Издательство "Лань" - 2012 - 544с. - ISBN: 978-5-8114-1186-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/3173