Линейная алгебра и геометрия

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

3

Кредиты

Кто читает:

Кафедра высшей математики (Общеуниверситетские кафедры)

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватель

Панов Алексей Андреевич

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение курса «Алгебра и Геометрия» не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы общеобразовательной средней школы. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов 1-2 курса факультета Химии. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: Теоретическая химия. Статистика. Экономика. Программирование, в частности на языке Python

Цель освоения дисциплины

• Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Планируемые результаты обучения

• владеть: навыками математической формализации задач, уметь выбирать и применять адекватный математический инструментарий при решении конкретных задач; методами проверки правильности решения и оценки эффективности используемых методов; навыками математического моделирования простейших практических задач и проблем, а также навыками содержательной интерпретации получаемых количественных и качественных результатов решений этих задач.

Содержание учебной дисциплины

• Пространства R(n) и C(n), матрицы и векторы
  Линейные пространства R(n) и C(n) Матрицы и векторы. Основные операции с матрицами и векторами. Квадратная матрица как линейный оператор. Определитель и след квадратной матрицы. Невырожденные матрицы, обратные матрицы. Группа невырожденных матриц GL(n). Скалярное произведение, ортогональные матрицы и ортогональная группа O(n). Прямые суммы подпространств и операторы проектирования. Матричное представление операторов симметрии, поворотов и отражений.
• Линейные пространства
  Аксиомы. Подпространство. Линейно независимые векторы. Базис и размерность пространства, координатное представление вектора. Линейные отображения. Линейные функционалы. Матрица линейного отображения. Переход к новому базису.
• Решение систем линейных уравнений
  Метод Гаусса. Общее и частное решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Определитель, методы вычисления определителей. Методы вычислений обратных матриц. Методы решений систем линейных уравнений.
• Линейные операторы
  Матрица линейного оператора. Замена базиса. Собственные векторы, собственные значения, собственный базис. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. Свойства собственных векторов.
• Билинейные и квадратичные формы
  Матрица симметричной билинейной формы. Замена базиса. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм.
• Теория групп
  Определение группы. Таблица умножения группы. Примеры групп: циклическая группа, диэдральная группа, группы вращений тетраэдра и куба, группы симметрий тетраэдра и куба, симметрическая группа. Классы сопряженных элементов.
• Линейные представления конечных групп
  Определения и примеры. Изоморфные представления. Подпредставления. Прямая сумма представлений. Унитарное представление. Приводимые и неприводимые представления. Регулярное представление. Скалярное произведение функций, определенных на группе.
• Теория характеров
  Определение характера представления. Характер прямой суммы представлений. Лемма Шура. Соотношение ортогональности для характеров. Разложение регулярного представления на неприводимые – основное соотношение для размерностей неприводимых представлений. Число неприводимых представлений группы.
• Евклидово пространство и линейные операторы
  Скалярное произведение. Ортонормированный базис. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Ортогональный оператор. Унитарный оператор.
• Аналитическая геометрия – прямые и плоскости
  Вычисление длины вектора и расстояния между точками. Скалярное произведение и угол между векторами. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Угол между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Векторное и смешанное произведение векторов.
• Аналитическая геометрия – кривые и поверхности второго порядка
  Канонический вид уравнения кривой второго порядка. Инварианты. Центр и главные оси. Вершина и ось параболы. Исследование общего уравнения второго порядка

Элементы контроля

• Ту1: Работа на семинарах 1 (3-4 модуль 1 курс)
• Контрольная работа 1 (4 модуль 1 курс)
• Экзамен 1 (4 модуль)
  При проведении экзамена в дистанционном режиме следует руководствоваться следующими Правилами: https://docs.google.com/document/d/1Hn-wBHLV3pkVwdcrWpl8TJp3R5z9fOedbg9TZfx3mB4/edit?usp=sharing . Экзамен проходит в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга, сервиса «Экзамус» на платформе мудл https://et.hse.ru. К экзамену необходимо подключиться за 15 минут до начала. Ваш ПК должен соответствовать следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf и проходить две проверки: первую за 2 недели до сессии https://lms.demo.examus.net/syscheck_st и вторую за 24 часа до экзамена, с авторизацией https://hse.student.examus.net/. Порядок действий в случае, если ваш ПК не проходит проверку https://www.hse.ru/ba/chem/proctoring. Идентификация личности, весь ход экзамена обеспечивается программно, во время экзамена идет виде-запись с вашей веб-камеры и рабочего стола вашего ПК. В случае обнаружения запрещенных действий экзамен не прерывается, нарушения фиксируется с последующей проверкой проктором, который подтверждает нарушение или признаёт экзамен сданным. Видеозаписи будут сохранены в системе ВШЭ на длительный срок. Дополнительных согласий и заявлений для этого подписывать не требуется. Работа выполняется в формате полноценной письменной работы: вы пишете ответ, фотографируете работу и загружаете файл в поле ответа на платформе. В общее время экзамена входит время на сам тест (80мин) и время на фотографирование и загрузку ответов (20мин). Использование телефона при фотографировании ответа не будет в этом случае являться нарушением. Для участия в экзамене вы обязаны обеспечить: достаточный уровень освещенности; низкий уровень шума; отсутствие помех передаче видео и аудио сигнала; наличие и использование для идентификации оригинала паспорта, наличие исправной и включенной веб-камеры и микрофона (включая встроенные в ноутбуки), постоянного интернет-соединения со скоростью передачи данных от пользователя не ниже 5 Мбит/сек. Во время экзамена вы обязаны: не покидать зону видимости веб-камерой; не отключать микрофон и не снижать его уровень чувствительности к звуку; использовать только одно средство вывода изображения, одну клавиатуру, один манипулятор; сосредоточиться на выполнении заданий (экран компьютера или листы с выполнением заданий), не отрывая взгляд на посторонние предметы на долгое время (15 секунд и больше), Во время экзамена вам запрещено: привлекать в помощь, вступать в разговоры, предоставлять доступ к ПК третьим лицам; использовать справочные материалы, любые гаджеты (в том числе калькулятор), дополнительные мониторы и компьютерную технику, кроме той, что непосредственно используется для экзамена, открывать вкладки браузера. Во время экзамена вы должны иметь при себе: ручку, карандаш, ластик, линейку, не более 8 чистых листов А4 для черновиков. В случае необходимости вы можете иметь на столе один листок А4 с записанными от руки с 2 сторон всем, что вы считаете нужным; воду; лекарства (в прозрачном пакете); шоколадку. При кратковременном нарушении связи (не более 5мин) обновить страницу или выйти из системы Examus и снова зайти, зафиксировать время разрыва связи (сделать скриншот, фотографию всего экрана, чтобы было видно время и окно приложения/сайта) и отправить в учебный офис. При долговременном нарушении связи (более 5 минут) вы не можете продолжить участие в экзамене. Необходимо сообщить незамедлительно о случившемся в учебный офис с помощью любых каналов связи. Не позднее, чем через 3 дня, необходимо предоставить максимальное количество подтверждающих документов (ответ от провайдера, скриншот проблемы, объяснительная и т.д.). Процедура пересдачи соответствует основному экзамену, проводится в осенний период пересдачи, допускается дистанционная организация в случае продления дистанционного режима обучения. Резервный день в июне при долговременных нарушениях связи не предусмотрен.
• Ту2: Работа на семинарах 2 (1-2 модуль второй курс)
• Контрольная работа 2 (2 модуль 2 курс)
• Экзамен 2 (2 модуль 2 курс)
  При проведении экзамена в дистанционном формате следует руководствоваться следующими Правилами проведения экзамена https://docs.google.com/document/d/13T7zSfTiCvJe-R6V6F_UIbhbRK1kyZpOPzms1NgDJJM/edit?usp=sharing

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  Итоговая оценка за первую половину курса это 0.2Ту1+0.3кр1+0.5Экз1, Итоговая оценка за вторую половину курса это 0.2Ту2+0.3кр2+0.5Экз2, Итоговая оценка по всему курсу это полусумма итоговых оценок за обе половины курса - именно она и ставится в зачетку.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Линейная алгебра и геометрия : учеб. пособие для вузов, Шафаревич, И. Р., 2009

Рекомендуемая дополнительная литература

• Сборник задач по высшей математике для экономистов : аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование: учеб. пособие, Ермаков, В. И., 2002
• Сборник задач по высшей математике с контрольными работами : 1 курс: учеб. пособие для вузов, Лунгу, К. Н., 2007