Математика

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Кто читает:

Кафедра высшей математики (Общеуниверситетские кафедры)

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

1-й курс, 1, 2 модуль

Преподаватели

Боброва Ирина Александровна

Шнурков Петр Викторович

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин (базовая часть), обеспечивающих подготовку бакалавров. Изучение курса «Математика» не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы общеобразовательной средней школы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: «Теория вероятностей и математическая статистика»; «Эконометрика»; «Моделирование в менеджменте»; «Методы оптимизации»; «Качественные и количественные методы разработки и принятия управленческих решений».

Цель освоения дисциплины

• Целями освоения дисциплины «Математика» являются: -формирование у слушателей высокой математической культуры; -овладение основными знаниями в области алгебры и математического анализа, необходимыми в практической деятельности; -развитие логического мышления и умения оперировать абстрактными объектами, привитие навыков корректного употребления математических понятий и символов для выражения различных количественных и качественных отношений; -ясное понимание математической составляющей в общей подготовке специалиста в области менеджмента. Для реализации поставленных целей в ходе изучения курса «Математика» решается задача обеспечения широкого, общего и достаточно фундаментального математического образования студентов соответствующей специальности. Фундаментальность подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств исследуемых объектов, логическую строгость изложения предмета, опирающуюся на адекватный современный математический язык.

Планируемые результаты обучения

• В результате изучения курса «Математика» студенты должны: -знать и уметь использовать математический аппарат для решения прикладных задач в области менеджмента;
• -владеть навыками математической формализации задач, формирования необходимых статистических данных, уметь применять необходимый математический инструментарий при выборе и обосновании решений, анализе их эффективности, а также возможных последствий принимаемых решений;
• -иметь представление о математическом моделировании экономических и управленческих проблем и содержательно интерпретировать получаемые количественные результаты их решений;
• -владеть навыками самостоятельной работы и постоянно пополнять свой уровень знаний в свете современных тенденций развития математического инструментария для решения экономических и управленческих задач.

Содержание учебной дисциплины

• Векторные величины на плоскости и в пространстве.
  Понятие вектора, заданного на плоскости и в трёхмерном пространстве. Координаты и длина вектора. Операции над векторами: сложение, умножение на действительное число. Геометрическая интерпретация векторных величин. Скалярное произведение векторов и его геометрическое содержание. Ортогональность векторов, угол между двумя векторами. Векторное произведение двух векторов и его геометрическое содержание.
• Основы аналитической геометрии на плоскости и в трёхмерном пространстве.
  Основные объекты аналитической геометрии. Прямая в трёхмерном пространстве. Каноническая и параметрическая формы задания прямой в трёхмерном пространстве. Геометрическое содержание параметров, входящих в соотношения, определяющие данную прямую. Плоскость в трёхмерном пространстве. Общее уравнение плоскости, его различные формы. Геометрический смысл коэффициентов уравнения плоскости. Варианты взаимного расположения прямой и плоскости. Варианты взаимного расположения двух плоскостей.
• Общее описание евклидова пространства.
  Понятие вектора, имеющего произвольное конечное число n координат. Линейные операции над векторами: сложение и умножение на действительное число. Длина или модуль вектора. Расстояние между двумя точками. Скалярное произведение двух векторов (аксиоматическое определение). Конечномерное евклидово пространство Rn как множество векторов с введёнными линейными операциями и скалярным произведением. Подпространство конечномерного евклидова пространства (формальные определения указанных понятий и их теоретическое содержание).
• Системы векторов в конечномерном евклидовом пространстве.
  Система или заданный конечный набор векторов в евклидовом пространстве. Определения линейной зависимости и линейной независимости заданной системы векторов. Ранг системы векторов. Элементарные преобразования векторов, входящих в заданную систему (полное описание). Свойство сохранения ранга системы при проведении элементарных преобразований. Ступенчатая форма системы векторов. Метод доказательства свойств линейной зависимости и линейной независимости заданной системы векторов. Понятие базиса некоторого множества векторов. Разложение произвольного вектора по базису. Координаты вектора в конкретном базисе. Стандартный базис в конечномерном евклидовом пространстве.
• Общее описание системы линейных уравнений.
  Формальное задание системы из m линейных уравнений с n неизвестными. Понятие решения заданной системы. Совместные и несовместные системы. Эквивалентные или равносильные системы линейных уравнений. Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Векторы-строки соответствующей матрицы и операции над ними. Ступенчатая форма матрицы. Элементарные преобразования уравнений системы и соответствующих векторов-строк матриц. Теорема об эквивалентности систем, получаемых из исходной при помощи элементарных преобразований (без доказательства).
• Метод решения системы линейных уравнений (метод Гаусса).
  Основная идея метода Гаусса. Приведение основной и расширенной матриц системы к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований. Определение рангов основной и расширенной матриц системы. Основные теоретические утверждения о решениях системы линейных уравнений. Теорема 1. (теорема Кронекера-Капелли). Необходимые и достаточные условия совместности заданной системы линейных уравнений (без доказательства). Теорема 2. Условия существования единственного решения и множества решений совместной системы линейных уравнений (без доказательства). Теорема 3. Устройство (структура) общего решения линейной неоднородной системы (без доказательства). Теорема 4. Представление общего решения линейной однородной системы в виде линейной комбинации векторов, образующих фундаментальный набор решений (без доказательства). Фундаментальный набор решений линейной однородной системы как базис во множестве всех решений этой системы. Пространство решений линейной однородной системы как подпространство в евклидовом пространстве векторов размерности n. Вариант, когда линейная однородная система имеет единственное нулевое решение. Алгоритм решения произвольной линейной неоднородной системы (алгоритм метода Гаусса). Описание алгоритма. Аналитическое представление множества решений линейной неоднородной системы в векторной форме.
• Матрицы и их свойства. Операции над матрицами.
  Понятие матрицы. Виды матриц. Размерность матрицы. Линейные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на действительное число. Свойства линейных операций. Произведение матриц. Формальное определение. Свойства произведения матриц: ассоциативность, некоммутативность. Применение данных свойств при преобразованиях матричных выражений. Операция транспонирования матрицы.
• Определители матриц.
  Общее понятие определителя квадратной матрицы. Непосредственное вычисление определителей матриц размерностей 2×2, 3×3. Формула треугольников для определителя матрицы размерности 3×3. Общая формула для вычисления определителя матрицы произвольной размерности. Объяснение общей формулы на примере определителя матрицы размерности 3×3. Понятие перестановки и числа инверсий в перестановке. Все возможные перестановки, образующиеся из набора чисел (1,2,3), и количество инверсий в этих перестановках. Вычисление всех элементов определителя. Обобщение полученной формулы для определителя матрицы произвольной размерности n×n. Алгебраические дополнения к элементам заданной матрицы. Миноры матрицы. Теорема 1. Представление определителя матрицы любой размерности в виде разложения по произвольной строке или по произвольному столбцу (без доказательства). Преобразования строк и столбцов матрицы, применяемые при вычислении определителей. Общий алгоритм вычисления определителя квадратной матрицы произвольной размерности. Специальное применение определителей. Нахождение решений системы из n неоднородных уравнений с n неизвестными по правилу Крамера.
• Обратные матрицы.
  Определение матрицы, обратной к заданной квадратной матрице. Теорема о существовании единственной матрицы, обратной к заданной невырожденной матрице (без доказательства). Свойств обратных матриц. Обратная матрица к произведению матриц. Аналитическая формула для элементов обратной матрицы (без доказательства).
• Общее понятие функции одной переменной.
  Переменные величины. Множество значений переменной величины. Область определения функции. Множество возможных значений. Аргумент и значение функции. Общее определение функции как отображения. Способы задания функции. Аналитическое представление функции. График функции. Функция натурального аргумента или числовая последовательность.
• Предел функции.
  Числовые последовательности как переменные величины. Определение предела числовой последовательности. Понятие окрестности точки на вещественной прямой. Примеры числовых последовательностей и их пределов. Универсальность понятия предела в математике. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные понятия. Определение предела функции на основе понятия предела последовательности. Второе определение предела функции «на языке эпсилон-дельта». Эквивалентность данных определений. Примеры поведения некоторых конкретных функций и существования их пределов. Односторонние пределы и их значение для изучения поведения функций. Определения пределов функции справа и слева. Примеры существования и отсутствия односторонних пределов. Условия существования предела функции, связанные с односторонними пределами. Некоторые утверждения, связанные с пределами функций. Арифметические операции над переменными величинами и соответствующие пределы. Неопределённые выражения. Различные виды неопределённостей.
• Понятие непрерывности функции.
  Первое определение непрерывности функции в заданной точке на основе понятия предела. Второе определение непрерывности функции в заданной точке «на языке эпсилон-дельта». Эквивалентность данных определений. Непрерывность элементарных функций. Арифметические операции над непрерывными функциями. Понятие разрыва функции в заданной точке. Разрывы первого и второго рода.
• Свойства непрерывных функций.
  Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции. Теорема об ограниченности непрерывной функции на замкнутом конечном интервале. Теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией своего минимального и максимального значений на заданном конечном замкнутом интервале (все теоремы без доказательства).
• Понятие производной функции.
  Основное определение производной функции в заданной точке. Геометрический и физический смысл производной. Понятие производной функции. Дифференцируемость как существование производной. Производные основных элементарных функций. Сводка результатов. Общие свойства производной. Производная линейной комбинации нескольких дифференцируемых функций. Производная произведения двух дифференцируемых функций. Производная отношения двух дифференцируемых функций. Теорема о производной сложной функции (без доказательства). Значение данной теоремы для аналитической работы. Односторонние производные (производные функции в заданной точке справа и слева). Условия существования производной в заданной точке, связанные с существованием односторонних производных. Теоремы о средних значениях. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа (все теоремы без доказательства).
• Дифференциал функции.
  Общее определение дифференцируемости функции в заданной точке. Связь свойства дифференцируемости с существованием производной. Понятие дифференциала функции в заданной точке (первый дифференциал). Дифференциал как главная часть полного приращения функции. Использование дифференциала для приближённого вычисления значений функции.
• Производные и дифференциалы высших порядков.
  Определения второй производной функции в заданной точке и производной произвольного порядка. Обозначения для производных высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Разложение функции в окрестности заданной фиксированной точки. Формула Тейлора. Различные формы остаточного (дополнительного) члена в формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для вычисления приближённого значения данной функции.
• Исследование поведения функции при помощи производных.
  Достаточное условие постоянства функции. Достаточные условия монотонности функции. Локальные экстремумы функции (определения). Необходимое условие локального экстремума (на основании теоремы Ферма). Понятие стационарной точки. Достаточное условие локального экстремума в форме изменения знака первой производной. Достаточное условие локального экстремума в форме определённого знака второй производной в рассматриваемой точке. Особенности поведения функции, связанные со знакопостоянством второй производной в заданной области изменения. Выпуклость функции. Раскрытие неопределённостей для заданной функции. Правила Лопиталя. Общие правила построения графиков исследуемых функций.
• Неопределённый интеграл (первообразная функции).
  Понятие первообразной заданной функции. Первообразная заданной функции как множество функций, отличающихся на постоянную величину. Основная задача интегрального исчисления. Связь операций интегрирования и дифференцирования. Геометрическое содержание неопределённого интеграла. Первообразная как площадь криволинейной фигуры. Идея теоремы Ньютона-Лейбница. Неопределённые интегралы от элементарных функций. Сводка результатов. Основные свойства неопределённых интегралов (без доказательства).
• Методы вычисления неопределённых интегралов.
  Интегрирование при помощи замены переменной. Примеры. Метод интегрирования по частям. Основной теоретический результат. Примеры. Интегрирование дробно-рациональных выражений. Интегрирование выражений, содержащих радикалы.
• Определённый интеграл.
  Геометрическое содержание определённого интеграла. Теория построения определённого интеграла. Определённый интеграл как предел последовательности интегральных сумм. Основные классы интегрируемых функций (утверждения без доказательства). Свойства определённого интеграла. Зависимость интеграла от способа ориентирования промежутка интегрирования. Свойства, выражаемые равенствами. Свойства, выражаемые неравенствами (оценки для интегралов). Теорема о среднем значении для определённого интеграла (без доказательства). Определённый интеграл как функция от переменного верхнего предела интегрирования. Теорема Ньютона-Лейбница (без доказательства). Основная формула интегрального исчисления. Связь определённого интеграла с неопределённым. Общие теоретические методы вычисления определённых интегралов. Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям.

Элементы контроля

• Экзамен
• контрольная работа 1
• контрольная работа 2
• Работа на семинарах

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.25 * контрольная работа 1 + 0.25 * контрольная работа 2 + 0.1 * Работа на семинарах + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Высшая математика : Учебное пособие для бакалавров, Шипачев, В.С., 2013
• Задачник по высшей математике : учеб. пособие для вузов, Шипачев, В. С., 2000
• Линейная алгебра : учеб. пособие для вузов, Шевцов, Г. С., 1999
• Линейная алгебра. Основы теории, примеры и задачи, Логвенков, С. А., 2017
• Матанализ с человеческим лицом, или как выжить после предельного перехода. Т.1: Начало анализа. Язык анализа. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность. Производ..., Пантаев, М. Ю., 2012
• Матанализ с человеческим лицом, или как выжить после предельного перехода. Т.2: Интеграл обыкновенный. Ряды и несобственные интегралы. Функции нескольких переменных. Функции ком..., Пантаев, М. Ю., 2012
• Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных : учеб. пособие для фак. менеджмента, политологии и социологии, Логвенков, С. А., 2012

Рекомендуемая дополнительная литература

• Основы математического анализа для политологов. Ч.1: Предел и непрерывность, Самовол, В. С., 2001