Кафедра высшей математики

АБB
АБB
АБB

Обычная версия сайта

О кафедре

Общеуниверситетская кафедра Высшей математики создана «в целях совершенствования учебного процесса и математической подготовки в ВШЭ, придания ей необходимой направленности по уровням и специальностям профессиональной подготовки бакалавров и специалистов» на основании решения Ученого совета от 23.07.1999 г., протокол №3 утвержденного приказом Ректора от 06.08.1999 г., №344.

Публикации

Книга

Качество приема как зеркало развития высшего образования: итоги 2025 года и долгосрочные тренды. Современная аналитика образования №3 (95)

Кузьминов Я. И., Кручинская Е. В., Габдрахманов Н. К. и др.

Вып. 3 (95): КАЧЕСТВО ПРИЕМА КАК ЗЕРКАЛО РАЗВИТИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ: ИТОГИ 2025 ГОДА И ДОЛГОСРОЧНЫЕ ТРЕНДЫ. М.: НИУ ВШЭ, Институт образования, 2026.

Статья

Artificial Intelligence. Law. Industries

Bogdanovskaya I., Volos A., N.A. Danilov et al.

Legal Issues in the Digital Age. 2026. Vol. 7. No. 2. P. 113-135.

Глава в книге

VIA AI: Reliable Deep Reinforcement Learning for Traffic Signal Control

Герасёв М. С., Kiselev D., Beketov M. et al.

In bk.: 2024 IEEE International Conference on Data Mining (ICDM) Workshops (ICDMW). Curran Associates, 2024. P. 887-890.

Препринт

On conditions for Dobrushin's Central limit theorem for non-homogeneous Markov chains
В печати

Веретенников А. Ю., Нуриева А. И.

60F05. 60F05. arXiv, 2025

Все публикации

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Кто читает:: Кафедра высшей математики (Общеуниверситетские кафедры)

Статус:: Курс обязательный

Когда читается:: 1-й курс, 3, 4 модуль

Преподаватель

Кийков Сергей Ортабаевич

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» направлена на ознакомление студентов с основными понятиями теории вероятностей и математической статистики; изучение базовых формул и теорем теории вероятностей и математической статистики, законов распределения случайных величин и их характеристик, статистического описания данных, постановок и методов решения задач математической статистики. Основные положения дисциплины будут использованы в следующих курсах: Экономическая статистика, Социология, Финансовый и бухгалтерский учет, Финансовый менеджмент, Основы программирования на языке Python, Введение в Data Science, Маркетинговые исследования, Инструменты интернет-маркетинга и веб-аналитики, Анализ данных на Python и при сдаче экзаменов независимой оценки цифровых компетенций.

Цель освоения дисциплины

1) овладение основными знаниями по теории вероятностей и математической статистике, необходимых для решения задач, возникающих на практике в экономической и управленческой деятельности; 2) развитие логического мышления, умения оперировать абстрактными объектами и навыков корректного употребления понятий и символов теории вероятностей и математической статистики для выражения различных количественных и качественных отношений; 3) формирование умения собирать статистические данные, анализировать статистические данные и результаты расчетов, интерпретировать полученные результаты; 4) формирование умения выбирать вероятностную или статистическую модель для решения прикладной задачи.

Планируемые результаты обучения

В результате изучения курса «Теория вероятностей и математическая статистика» студенты должны: 1) знать основы теории вероятностей и математической статистики, необходимые для решения экономических задач;
2) уметь применять методы теории вероятностей, математической статистики и моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач;
3) владеть методикой построения, анализа и применения вероятностных и статистических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.
Знать: основные правила комбинаторики; виды комбинаций элементов множества без повторений и с повторениями и формулы для их подсчёта.
Уметь: вычислять число сочетаний, размещений и перестановок без повторений и с повторениями.
Владеть: навыками применения комбинаторных формул при решении задач.
Знать: понятие случайного события; виды случайных событий; понятие пространства элементарных событий; понятие полной группы событий; операции над событиями и их свойства; классическое и статистическое определения вероятности события; геометрическое определение вероятности события.
Уметь: выполнять операции над случайными событиями; вычислять вероятности событий на основе классического и геометрического определений.
Владеть: навыками вычисления вероятности событий на основе классического и геометрического определений.
Знать: определение условной вероятности события.
Уметь: вычислять условную вероятность события.
Владеть: навыками вычисления условной вероятности события.
Знать: правила умножения вероятностей событий; понятия зависимых и независимых случайных событий.
Уметь: вычислять вероятность произведения событий; проводить исследования зависимости событий.
Владеть: навыками вычисления вероятности произведения событий.
Знать: правила сложения вероятностей событий.
Уметь: вычислять вероятность суммы событий.
Владеть: навыками вычисления вероятности суммы событий.
Знать: формулу полной вероятности и формулу Байеса; понятие гипотезы; понятия априорной и апостериорной вероятностей.
Уметь: вычислять вероятность через условные вероятности в предположении неких гипотез с помощью формулы полной вероятности; вычислять вероятность события при условии, что произошло другое взаимозависимое с ним событие, с помощью формулы Байеса.
Владеть: навыками применения формулы полной вероятности и формулы Байеса при решении задач.
Знать: понятие независимых испытаний; определение схемы Бернулли; формулу Бернулли; определение наивероятнейшего числа успехов; определение полиномиальной схемы; формулу полиномиальной схемы.
Уметь: вычислять вероятность события в серии независимых испытаний с двумя возможными исходами (успех и неудача) с помощью формулы Бернулли; находить наивероятнейшее число успехов; вычислять вероятность события в условиях многократных независимых испытаний с несколькими возможными исходами с помощью полиномиальной формулы.
Владеть: навыками применения формулы Бернулли и полиномиальной формулы при решении задач.
Знать: формулу Пуассона и условия её применения; понятие потока Пуассона.
Уметь: вычислять вероятность события с помощью формулы Пуассона.
Владеть: навыками применения формулы Пуассона при решении задач.
Знать: понятие случайной величины; определения дискретной и непрерывной случайных величин; определение закона распределения случайной величины; операции над случайными величинами; понятие зависимости и независимости случайных величин.
Уметь: составлять закон распределения случайной величины; выполнять операции над случайными величинами.
Владеть: навыками составления закона распределения случайной величины; выполнения операций над случайными величинами.
Знать: числовые характеристики дискретных случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение; начальные и центральные моменты; коэффициенты асимметрии и эксцесса; мода) и их свойства.
Уметь: вычислять числовые характеристики дискретных случайных величин.
Владеть: навыками вычисления числовых характеристик дискретных случайных величин.
Знать: основные законы распределения дискретных случайных величин (биномиальный, Пуассона, геометрический, гипергеометрический).
Уметь: составлять основные законы распределения дискретных случайных величин и вычислять числовые характеристики дискретных случайных величин, распределённых по этим законам.
Владеть: навыками составления основных законов распределения дискретных случайных величин и вычисления числовых характеристик дискретных случайных величин, распределённых по этим законам.
Знать: определение двумерной случайной величины и её свойства; определение закона распределения двумерной дискретной случайной величины (совместного закона распределения); понятия частных законов распределения; понятие зависимости и независимости случайных величин; определение условного закона распределения.
Уметь: составлять закон распределения двумерной дискретной случайной величины, частные законы распределения и условные законы распределения.
Владеть: навыками составления закона распределения двумерной дискретной случайной величины, частных законов распределения и условных законов распределения.
Знать: числовые характеристики двумерных дискретных случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, ковариация и коэффициент корреляции); свойства ковариации и коэффициента корреляции; условное математическое ожидание.
Уметь: вычислять числовые характеристики двумерных дискретных случайных величин, условное математическое ожидание.
Владеть: навыками вычисления числовых характеристик двумерных дискретных случайных величин, условного математического ожидания.
Знать: определение функции распределения случайной величины и её свойства.
Уметь: находить функцию распределения для дискретной случайной величины.
Владеть: навыками нахождения функции распределения для дискретной случайной величины.
Знать: определение функции плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины и её свойства.
Уметь: находить функцию распределения и функцию плотности распределения вероятностей для непрерывной случайной величины.
Владеть: навыками нахождения функции распределения и функции плотности распределения вероятностей для непрерывной случайной величины.
Знать: числовые характеристики непрерывных случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение; начальные и центральные моменты; коэффициенты асимметрии и эксцесса; мода; медиана; квантиль) и их свойства.
Уметь: вычислять числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Владеть: навыками вычисления числовых характеристик непрерывных случайных величин.
Знать: основные законы распределения непрерывных случайных величин (равномерное распределение, показательное распределение, нормальный закон распределения); функцию Гаусса и функцию Лапласа; правило «трёх сигм».
Уметь: составлять основные законы распределения непрерывных случайных величин и вычислять числовые характеристики непрерывных случайных величин, распределённых по этим законам; вычислять значения функций Гаусса и Лапласа по таблицам.
Владеть: навыками составления основных законов распределения непрерывных случайных величин и вычисления числовых характеристик непрерывных случайных величин, распределённых по этим законам; навыками использования таблиц для вычисления значений функций Гаусса и Лапласа.
Знать: определение функции от одной случайной величины; определение функции от нескольких случайных величин.
Уметь: находить закон распределения и вычислять основные числовые характеристики зависимой случайной величины.
Владеть: навыками нахождения закона распределения и вычисления основных числовых характеристик зависимой случайной величины.
Знать: распределения хи-квадрат, Стьюдента и Фишера-Снедекора.
Уметь: находить значения квантилей распределений хи-квадрат, Стьюдента и Фишера-Снедекора по таблицам критических точек.
Владеть: навыками использования таблиц для нахождения значений квантилей распределений хи-квадрат, Стьюдента и Фишера-Снедекора.
Знать: закон больших чисел в форме теорем Чебышева и Бернулли.
Уметь: применять закон больших чисел при решении задач.
Владеть: навыками использования закона больших чисел.
Знать: центральную предельную теорему как для одинаково распределённых независимых случайных величин, так и для независимых случайных величин с разными законами распределения (теорема Ляпунова).
Уметь: применять центральную предельную теорему при решении задач.
Владеть: навыками использования центральной предельной теоремы.
Знать: локальную и интегральную формулы Муавра-Лапласа, а также условия их применения.
Уметь: применять локальную и интегральную формулы Муавра-Лапласа при решении задач.
Владеть: навыками использования локальной и интегральной формулы Муавра-Лапласа.
Знать: понятия генеральной совокупности и выборочной совокупности (выборки), их объёма; виды выборок; понятие варианты; определение вариационного ряда; определения частоты и относительной частоты вариант; определения дискретного и интервального статистических рядов (статистического распределения выборки); определения ранга, моды, медианы, квартиля, межквартильного размаха, границ характерных значений выборки.
Уметь: составлять вариационный ряд; вычислять частоты и относительные частоты вариант; составлять дискретный и интервальный статистический ряды; находить ранг, моду, медиану, квартили, межквартильный размах, границы характерных значений выборки.
Владеть: навыками составления вариационного ряда, вычисления частоты и относительной частоты вариант, составления дискретного и интервального статистических рядов; навыками нахождения ранга, моды, медианы, квартилей, межквартильного размаха, границ характерных значений выборки.
Знать: определение эмпирической функции (статистической функции) распределения.
Уметь: находить эмпирическую функцию распределения.
Владеть: навыками нахождения эмпирической функции распределения.
Знать: определения полигона частот и относительных частот; определения гистограммы частот и относительных частот.
Уметь: строить полигон частот и относительных частот, гистограмму частот и относительных частот.
Владеть: навыками построения полигона частот и относительных частот, гистограммы частот и относительных частот.
Знать: определения выборочной средней, выборочной дисперсии, исправленной выборочной дисперсии, выборочной ковариации, выборочных начальных и центральных эмпирических моментов, выборочных асимметрии и эксцесса.
Уметь: вычислять выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочную ковариацию, выборочные начальные и центральные эмпирические моменты, выборочные асимметрию и эксцесс.
Владеть: навыками вычисления выборочной средней, выборочной дисперсии, исправленной выборочной дисперсии, выборочной ковариации, выборочных начальных и центральных эмпирических моментов, выборочных асимметрии и эксцесса.
Знать: метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов для нахождения точечных оценок параметров распределения.
Уметь: находить точечные оценок параметров распределения с помощью метода моментов, метода максимального правдоподобия и метода наименьших квадратов.
Владеть: навыками методов нахождения точечных оценок для параметров распределения.
Знать: интервальные оценки параметров распределения.
Уметь: находить интервальные оценки параметров распределения (доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии; доверительный интервал для вероятности биномиального закона распределения при большом числе испытаний).
Владеть: навыками нахождения интервальных оценок для параметров распределения.
Знать: понятие статистической гипотезы; понятия параметрической и непараметрической гипотез; понятия основной (или нулевой) и конкурирующей (или альтернативной) гипотез; понятие статистического критерия проверки гипотезы; понятие статистики критерия (или выборочной статистики); понятие критической области; понятие критической точки; понятия ошибок первого и второго родов; понятие уровня значимости критерия; понятие мощности критерия; общую схему проверки статистической гипотезы.
Уметь: формулировать основную и альтернативную гипотезы; выбирать соответствующий статистический критерий; рассчитывать наблюдаемое значение критерия ; находить критическую область; определять критические точки по таблицам распределений; выбирать уровень значимости критерия; применять общую схему проверки статистической гипотезы.
Владеть: навыками составления основной и альтернативной гипотезы, выбора статистического критерия, расчёта наблюдаемого значения критерия, нахождения критической области, определения критических точек по таблицам распределений, выбора уровня значимости критерия, применения общей схемы для проверки статистической гипотезы.
Знать: схему проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
Уметь: проверять гипотезу о сравнении двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей при решении задач.
Владеть: навыками проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.
Знать: схему проверки гипотезы о сравнении исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.
Уметь: проверять гипотезу о сравнении исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности при решении задач.
Владеть: навыками проверки гипотезы о сравнении исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.
Знать: схему проверки гипотезы о сравнении средних двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (в случае больших независимых выборок).
Уметь: проверять гипотезу о сравнении средних двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (в случае больших независимых выборок) при решении задач.
Владеть: навыками проверки гипотезы о сравнении средних двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (в случае больших независимых выборок).
Знать: схему проверки гипотезы о сравнении средних двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (в случае малых независимых выборок).
Уметь: проверять гипотезу о сравнении средних двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (в случае малых независимых выборок) при решении задач.
Владеть: навыками проверки гипотезы о сравнении средних двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (в случае малых независимых выборок).
Знать: схему проверки гипотезы о сравнении выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности.
Уметь: проверять гипотезу о сравнении выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности при решении задач.
Владеть: навыками проверки гипотезы о сравнении выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности.
Знать: схему проверки гипотезы о сравнении наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события.
Уметь: проверять гипотезу о сравнении наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события при решении задач.
Владеть: навыками проверки гипотезы о сравнении наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события.
Знать: схему проверки гипотезы о сравнении двух вероятностей биномиальных распределений.
Уметь: проверять гипотезу о сравнении двух вероятностей биномиальных распределений при решении задач.
Владеть: навыками проверки гипотезы о сравнении двух вероятностей биномиальных распределений.
Знать: схему проверки гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.
Уметь: проверять гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при решении задач.
Владеть: навыками проверки гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.
Знать: схему проверки гипотезы о нормальном законе распределения; критерий Пирсона.
Уметь: проверять гипотезу о нормальном законе распределения при решении задач.
Владеть: навыками проверки гипотезы о нормальном законе распределения.

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Комбинаторика.
Тема 2. Случайные события и их вероятности.
Тема 3. Основные формулы теории вероятностей. Повторные независимые события.
Тема 4. Случайные величины и действия над ними.
Тема 5. Дискретные случайные величины.
Тема 6. Непрерывные случайные величины.
Тема 7. Предельные законы теории вероятностей.
Тема 8. Выборки и их характеристики.
Тема 9. Статистические оценки.
Тема 10. Проверка статистических гипотез.

Элементы контроля

Тесты 1-2
Контрольная работа 1
Тесты 3-4
Контрольная работа 2
Экзамен

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 4 модуль
0.2 * Контрольная работа 1 + 0.2 * Тесты + 0.2 * Контрольная работа 2 + 0.4 * Экзамен

Список литературы

Авторы

Кийков Сергей Ортабаевич

Теория вероятностей и математическая статистика